等价定理简介

作者按：最近毕业论文的事情只剩下一个答辩了，有时间考虑一些奇奇怪怪的问题。对这些问题的思考最终将我引向了集合论和元数学的一些知识。因此，从现在开始的未来半年中或许会更新一些相关内容（当然具体情况要视我的阅读进度和怠惰程度而定）。

集合论，数学的基础，基础中的基础，这么说应该不为过。任意一本/套数学书（更准确的说，任何一本基础数学子方向的专业书）无不以对集合论的简介为开篇。这里，作者假定读者对这些基础知识已有所了解，主要包括各类定义，如：并、交、映射、有穷、无穷、可数等各类概念的定义。

映射，则是在各类数学都离不开绕不过的一个概念。借助映射，可以定义两个集合之间的等价关系。具体地说，如果在集合 $M$ 和集合 $N$ 之间存在一个一一映射（或者用更“经典”的说法，双射），就说 $M$ 和 $N$ 等价，记作 $M\sim N$ 。

借助等价的概念，我们可以进一步得到可数的概念，进而得到一些非常有趣的结论。比如说，有理数集、代数数集，乃至可定义数集和可计算数集，以及它们之间的或自己与自己的无论叠多少次（有限次）的笛卡尔积（似乎有的地方称为直积？）都是可数的，这一切都归功于康托他那神奇的对角线法。

扯远了。关于等价性，有一条等价定理。它是说，若集合 $M$ 存在子集 $M_1$ ，使得 $M_1\sim N$ ，同时集合 $N$ 存在子集 $N_1$ ，使得 $N_1\sim M$ ，那么 $M\sim N$ 。

为什么？方便起见，我们记从 $N$ 到 $M_1$ 的一一映射为 $f_1$ ， $M$ 到 $N_1$ 的一一映射为 $f_2$ 。再记 $A_0=M-M_1$ 。那么，在 $f_2$ 的作用下， $A_0$ 将被映射至 $N_1$ 下的一个子集 $B_1$ 。但注意到这里还有另外一个一一映射 $f_1$ ，因此 $f_1$ 将 $B_1$ 映射到 $M_1$ 的子集 $A_1$ 。同样的， $A_1$ 又可以借助 $f_2$ 映射到 $N_1$ 的子集 $B_2$ ， $B_2$ 又能借助 $f_1$ 映射至 $M_1$ 下的 $A_2$ ……（插句题外话，证明过程中的这一步，和通过微分流形之间的一一映射（拉回和推前）来定义张量间的映射有异曲同工之妙）这样，我们就得到了 $M$ 内的一系列集合 $A_i$ 和 $N_1$ 、进而是 $N$ 中的一系列集合 $B_i$ 。分别记：

(1) $\begin{equation*} A=\bigcup^\infty_{i=0}A_i,\,B=\bigcup^\infty_{i=1}B_i \end{equation*}$

根据这个定义，我们看到（反证法），若某元素 $m$ 在 $A$ 中，则 $f_2(m)$ 一定在 $B$ 中；反之，若 $m$ 不在 $A$ 中，则 $f_2(m)$ 一定不在 $B$ 中。若将上述断言中的 $A$ 和 $B$ 对换，将 $f_2$ 换为 $f_1$ ，则断言也成立。

为了证明 $M\sim N$ ，需要给出 $M$ 和 $N$ 之间的一个一一映射。我们如此定义映射 $F$ ：(1)若 $m\in A$ ，则 $F(m)=f_2(m)$ ；(2)若 $m\in M-A$ ，则 $F(m)=f_1(m)$ 。可以证明这个映射是一个一一映射，因为：

(1)考虑 $m_1,\,m_2\in M$ 。若 $m_1,\,m_2\in A$ 或 $m_1,\,m_2\in M-A$ ，根据 $f_1$ 和 $f_2$ 的一一性， $F(m_1)\neq F(m_2)$ ；若 $m_1\in A$ 而 $m_2\in M-A$ ，那么 $F(m_1)\in B$ 而 $F(m_2)\in N-B$ （由上一段中的断言），显然 $F(m_1)\neq F(m_2)$ 。综上， $F(m)$ 是单射。

（2）接下来只需要证明 $F(m)$ 是满射，即对任意 $n\in N$ ，都存在 $m\in M$ ，使得 $F(m)=n$ 。若 $n\in B$ ，结论是显然的。若 $n\in N-B$ ，根据之前的断言和 $F$ 的定义，设 $m=f_1^{-1}(n)$ ，这样的 $m\notin A$ ，因此 $F(m)=f_1(f_1^{-1}(n))=n$ ，即 $m$ 与 $n$ 对应。因此 $F$ 是满射。

综上， $F$ 即是 $M$ 和 $N$ 之间的一一映射，这就证明了等价定理。很简单吧？

从等价定理（结合其他一些定理），可以得到一些很有趣的结论，比如说：任意无穷基数都大于等于自然数集的无穷基数（若 $M$ 是无穷集，则 $\bar{\bar{M}}\geq\aleph_0$ ）。从直观上说，这个结论实际上指出了没有比“可数的无穷”更低的无穷了。自然数集可以看作是一条有穷与无穷之间的分界线，在一侧的集合，不论个数是多少，都至少能一个一个数出来；在另一侧的集合，连一个一个数出来都做不到；位于这条分界线上的呢，你能看得出来它很类似于有限集，因为他的元素是“离散”的，但却又有无穷多个元素。或者可以说，任何无穷集都比自然数集要更“稠密”。

而等价定理更重要的意义是在于集合基数的比较上。当然，有限集的情形是很平凡的，至少挨个数也能确定集合的基数；而对于无限集，则存在3种情况，(1)存在 $M$ 的子集 $M_1$ 和 $N$ 等价而不存在 $N$ 的子集与 $M$ 等价；(2)存在 $M$ 的子集 $M_1$ 和 $N$ 等价，存在 $N$ 的子集与 $M$ 等价（即等价定理所叙述的情况）；(3)不存在 $M$ 的子集 $M_1$ 和 $N$ 等价，不存在 $N$ 的子集与 $M$ 等价。通过第一种情况很容易定义出 $\bar{\bar{M}}>\bar{\bar{N}}$ ；第二种情况呢？我们不能直接说 $M$ 与 $N$ 之间的关系如何，因为这情况叙述的是他们子集之间的关系。当然，你也可以说如果是这种情况，那么 $M$ 和 $N$ 的基数相同，但是 $M$ 和 $N$ 等价的情况呢？因此自然需要考虑第二种情况与 $M\sim N$ 之间的关系，是包含关系，还是根本就是同一种关系？那么，等价定理就说，他们确实是同一种关系。