矢量球谐函数相关

最近做电磁辐射方面的论文，碰到一个矢量球谐函数展开的方法，很有意思，故作文以记，备不时之需。

一、标量球谐函数（Scalar Spherical Harmonics, SSH）

首先复习SSH的相关知识。SSH是球坐标形式下拉普拉斯方程 $\nabla^2u=0$ 角向部分的分离变量解。拉普拉斯方程角向部分分离变量为：

(1) $\begin{equation*} \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta})+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2}+l(l+1)Y=0 \end{equation*}$

其本征函数为球谐函数 $Y^m_l$ ，复数形式为：

(2) $\begin{equation*} Y^m_l=P^m_l(\cos\theta)e^{-im\varphi} \end{equation*}$

其中， $P^m_l(x)$ 是连带勒让德多项式：

(3) $\begin{equation*} P^m_l(x)=(1-x^2)^\frac{m}{2}P^{(m)}_l(x) \end{equation*}$

SSH是一组正交完备基：

(4) $\begin{equation*} \int_{\Omega}Y^m_lY^{m'}_{l'}\mathrm{d}\Omega=\frac{4\pi}{2l+1}\cdot\frac{(l+|m|)!}{(l-|m|)!}\delta_{mm'}\delta_{ll'} \end{equation*}$

可以将球面上的函数用SSH展开：

(5) $\begin{equation*} f(\theta,\varphi)=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}C^m_lY^m_l \end{equation*}$

其中，

(6) $\begin{equation*} C^m_l=\frac{2l+1}{4\pi}\cdot\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}\int_\Omega f(\theta,\varphi)(Y^m_l)^*\mathrm{d}\Omega \end{equation*}$

球谐函数具有确定的宇称。可以证明，在宇称算符 $P$ 作用下， $PY^m_l=(-1)^lY^m_l$ ：

(7) $\begin{equation*} PY^m_l=P(P^m_l(\cos\theta)e^{-im\varphi})=P^m_l(\cos(\pi-\theta))e^{-im(\pi+\varphi)}=(-1)^mP^m_l(-\cos\theta)e^{-im\pi} \end{equation*}$

根据勒让德多项式的微分表示：

(8) $\begin{equation*} P_l(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{\mathrm{d}^l}{\mathrm{d}^lx}(x^2-1)^l \end{equation*}$

容易看出 $P_l(-x)=(-1)^lP_l(x)$ ，故：

(9) $\begin{equation*} P^m_l(-x)=(1-(-x)^2)^\frac{m}{2}P^{(m)}_l(-x)=(-1)^{l+m}P^m_l(x) \end{equation*}$

因此 $PY^m_l=(-1)^lY^m_l$ 。

二、矢量球谐函数（Vector Spherical Harmonics, VSH）

为方便起见，本节将尽量使用抽象指标记号。一般的，矢量球谐函数是拉普拉斯方程 $\nabla^a\nabla_au^b=0$ 角向部分的解。鉴于该方程可以写为分量形式： $\nabla^a\nabla_bu^i=0, i=t,r,\theta,\varphi$ ，因此根据第一节的内容，很容易看出其各分量在角向的本征函数仍为 $Y^m_l$ ，即拉普拉斯方程的解可以写作如下形式：

(10) $\begin{equation*} \begin{split} u^a&=\\ &\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^lT_{0lm}(r)R_{0lm}(r)Y^m_l(\theta,\varphi)(\frac{\partial}{\partial t})^a\\ &+T_{1lm}(t)R_{1lm}(r)Y^m_l(\theta,\varphi)(\frac{\partial }{\partial r})^a\\ &+T_{2lm}(t)R_{2lm}(r,t)Y^m_l(\theta,\varphi)(\frac{\partial}{\partial \theta})^a\\ &+T_{3lm}(t)R_{3lm}(r)Y^m_l(\theta,\varphi)(\frac{\partial}{\partial \varphi})^a \end{split} \end{equation*}$

但是，使用这种形式的VSH并没有太大的意义：一方面，考虑如下的矢量方程 $\nabla^aE_a=f$ ，如果分别用VSH和SSH展开 $E^a$ 和 $f$ ，再代入方程，我们容易发现并不能消去 $Y^m_l$ ，从而解出展开系数和 $f$ 之间的关系——而这往往是在求解边值问题时的常规步骤；另一方面，当涉及到旋度时，这样的表示方式往往会遇到困难。因此，我们需要重新引入两个函数： $\nabla^a Y^m_l$ 和 $\epsilon^{abc}r_b\nabla_cY^m_l$ 作为对 $Y^m_l$ 的补充，共同组成VSH。具体的说，就是将 $u^a$ 的第 $lm$ 项（ $(u^m_l)^a$ ）表示为：

(11) $\begin{equation*} (u^m_l)^a=T_{lm}(r,t)Y^m_l(\frac{\partial}{\partial t})^a+R_{lm}(r,t)Y^m_l(\frac{\partial}{\partial r})^a+M(r,t)\nabla^aY^m_l-N(r,t)\epsilon^{abc}r_b\nabla_cY^m_l \end{equation*}$

更进一步的，矢量 $u^a$ 可以写为：

(12) $\begin{equation*} (u^m_l)^a= \begin{bmatrix} 0\\0\\ \frac{N^{m}_l}{r\sin\theta}\frac{\partial Y^{m}_l}{\partial \varphi}\\ -\frac{N^{m}_l}{r\sin\theta}\frac{\partial Y^m_l}{\partial \theta} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} T^m_lY^m_l\\R^m_lY^m_l\\ \frac{M^m_l}{r^2}\frac{\partial Y^{m}_l}{\partial \theta}\\ \frac{M^m_l}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial Y^m_l}{\partial \varphi} \end{bmatrix} \end{equation*}$

因此，VSH可以看作由以下4类矢量组成：

(13) $\begin{equation*} (E^1_{lm})^a=\begin{bmatrix} Y^m_l\\0\\0\\0 \end{bmatrix} , (E^2_{lm})^a=\begin{bmatrix} 0\\Y^m_l\\0\\0 \end{bmatrix} , (E^3_{lm})^a=\begin{bmatrix} 0\\0\\ \frac{1}{r^2}\frac{\partial Y^{m}_l}{\partial \theta} \\ \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial Y^m_l}{\partial \varphi} \end{bmatrix} , (O_{lm})^a= \begin{bmatrix} 0\\0\\\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial Y^{m}_l}{\partial \varphi}\\ -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial Y^m_l}{\partial \theta} \end{bmatrix} \end{equation*}$

实践中，更常用到的是其对偶矢量：

(14) $\begin{equation*} (E^1_{lm})_a=\begin{bmatrix} Y^m_l\\0\\0\\0 \end{bmatrix} , (E^2_{lm})_a=\begin{bmatrix} 0\\Y^m_l\\0\\0 \end{bmatrix} , (E^3_{lm})_a=\begin{bmatrix} 0\\0\\ \frac{\partial Y^{m}_l}{\partial \theta} \\ \frac{\partial Y^m_l}{\partial \varphi} \end{bmatrix} , (O_{lm})_a= \begin{bmatrix} 0\\0\\\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial Y^{m}_l}{\partial \varphi}\\ -\sin\theta\frac{\partial Y^m_l}{\partial \theta} \end{bmatrix} \end{equation*}$

各式中的 $r$ 已吸收入展开系数中。注意到，前三组矢量宇称为 $(-1)^l$ ，最后一组矢量宇称为 $(-1)^{l+1}$ 。为看到这一点，以最后一组函数为例，由于

(15) $\begin{equation*} P(\frac{\partial Y^m_l(\theta,\varphi)}{\partial \theta})=\frac{\partial Y^m_l(\pi-\theta,\pi+\varphi)}{\partial(\pi-\theta)}=(-1)^{l+1}\frac{\partial Y^m_l}{\partial \theta} \end{equation*}$

(16) $\begin{equation*} P(\frac{\partial Y^m_l}{\partial \varphi})=\frac{\partial (PY^m_l)}{\partial (\pi+\varphi)}=(-1)^l\frac{\partial Y^m_l}{\partial \varphi} \end{equation*}$

再考虑到 $P\boldsymbol{\hat{e}}_\theta=\boldsymbol{\hat{e}}_\theta$ ， $P\boldsymbol{\hat{e}}_\varphi=-\boldsymbol{\hat{e}}_\varphi$ ，因此 $P(\frac{\partial}{\partial\theta})^a=P(r\boldsymbol{\hat{e}}_\theta)=-r\boldsymbol{\hat{e}}_\theta$ ， $P(\frac{\partial}{\partial\varphi})^a=P(r\boldsymbol{\hat{e}}_\varphi)=r\boldsymbol{\hat{e}}_\varphi$ 。故 $P(O_{lm})^a=(-1)^{l+1}(O_{lm})^a$ 。同理可得出其他VSH的宇称。