上一篇文章中，我们得到了质点/封闭质点系的拉格朗日函数。回忆一下，自由质点的拉格朗日函数为：

(1)   \begin{equation*} L=\frac{1}{2}mv^2 \end{equation*}

封闭质点系的拉格朗日函数为：

(2)   \begin{equation*} L=\sum_i\frac{1}{2}m_iv_i^2-U \end{equation*}

其中U是质点间相对距离的函数，描述质点之间的相互作用。将它们代入拉格朗日方程：

(3)   \begin{equation*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0 \end{equation*}

就能得到质点（系）的运动方程，进而得到质点（系）的运动轨迹。

但是，一方面，这样的计算往往繁复甚至难以解决；更重要的是，根据诺特定理，一类连续对称性对应一种守恒量，它往往能反映运动更深层次的内涵。因此我们有义务找出这些守恒量，哪怕是为了计算更方便呢（笑）。

一. 时间均匀性，能量

首先是时间的均匀性。对于封闭系统，其拉格朗日函数不显含时间，即：\partial L/\partial t=0，故拉格朗日函数的全导数为：

(4)   \begin{equation*} \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\sum_i(\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot{q_i}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\ddot{q_i}) \end{equation*}

由于拉格朗日方程，上式可以重写为：

(5)   \begin{equation*} \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\sum_i(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\ddot{q_i}) \end{equation*}

于是有：

(6)   \begin{equation*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\sum_i\dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-L)=0 \end{equation*}

可见，若定义：

(7)   \begin{equation*} E=\sum_i\dot{q_i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-L \end{equation*}

则E在系统演化过程中不随时间变化，是守恒量。一般称这个量为能量。如果进一步写出拉格朗日函数：L=T-U，则容易看到E=T+U。这也是为什么动能称为动能而势能称为势能的原因之一。能量具有的重要意义不言而喻，在普通物理就可见一斑，而在分析力学中具有更重要的位置。

二. 空间均匀性，动量

由于空间的均匀性，当封闭质点系整体发生一个无穷小位移\boldsymbol{\varepsilon}时，质点系的拉格朗日函数应不发生变化。对于这样一个无穷小位移，容易看到它对拉格朗日函数造成的变化为：

(8)   \begin{equation*} \delta L=\boldsymbol{\varepsilon}\cdot\sum_i\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_i} \end{equation*}

由于\delta L=0，而\boldsymbol{\varepsilon}=0，只能有：

(9)   \begin{equation*} \sum_i\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{r}_i}=0 \end{equation*}

又根据拉格朗日方程，最终我们看到：

(10)   \begin{equation*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum_i\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}_i}=0 \end{equation*}

可见\boldsymbol{P}=\sum_a\partial L\partial \boldsymbol{v}_i是一个守恒量，一般称这个守恒量为动量。若将L的具体形式代入，就能看到

(11)   \begin{equation*} \boldsymbol{P}=\sum_im\boldsymbol{v}_i \end{equation*}

从上述推导过程中可以看到，如果使用广义坐标，那么有对应的广义动量p_i=\partial L/\partial \dot{q_i}。如果广义坐标具有均匀性，那么广义动量亦守恒。

三. 空间各向同性，角动量

类似的，对封闭系统的整体旋转不应改变拉格朗日函数。考虑无限小旋转\delta\boldsymbol{\varphi}，它产生的位移为：

(12)   \begin{equation*} \delta\boldsymbol{r}=\delta\boldsymbol{\varphi}\times\boldsymbol{r} \end{equation*}

类似的，速度变化为：

(13)   \begin{equation*} \delta\boldsymbol{v}=\delta\boldsymbol{\varphi}\times\boldsymbol{v} \end{equation*}

因此，有：

(14)   \begin{equation*} \delta L=\sum_i(\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{r}_i}\cdot\delta\boldsymbol{r}+\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{v}_i}\cdot\delta\boldsymbol{v})=0 \end{equation*}

再代入拉格朗日方程，就最终得到：

(15)   \begin{equation*} \delta\boldsymbol{\varphi}\cdot\sum_i\boldsymbol{r}_i\times\boldsymbol{p}_i=0 \end{equation*}

由于\delta\boldsymbol{\varphi}的任意性，我们得到一个新的守恒量：

(16)   \begin{equation*} \boldsymbol{J}=\sum_i\boldsymbol{r}_i\times\boldsymbol{v}_i \end{equation*}

这一守恒量通常被称为角动量。上述推导过程是在笛卡尔坐标系下完成的，但如果采用极坐标作为广义坐标，我们很容易的就能看到角动量\boldsymbol{J}的三个分量就是对应的广义动量。

四.参考系变换，质心

一个常见的问题是，这些守恒量在不同的参考系下如何变化？对于能量，由于

(17)   \begin{equation*} E=T+U=\sum_i\frac{1}{2}m_iv_i^2+U \end{equation*}

根据伽利略很容易将一个参考系下的能量变换到另一参考系。容易看到，这一变换只改变动能项。

对于动量，做法也类似。如果两个惯性参考系K和K'之间的速度差为\boldsymbol{V}，容易看到它们之间的动量满足：

(18)   \begin{equation*} \boldsymbol{P}'=\boldsymbol{P}+\boldsymbol{V}\sum_im_i \end{equation*}

基于此，我们发现一个很有趣的事实：如果取一个特别的参考系K'，使得其相对于K的速度为

(19)   \begin{equation*} \boldsymbol{V}=-\frac{\boldsymbol{P}}{\sum_im_i} \end{equation*}

则在K'下质点系的动量为0。这样的参考系被称为质心参考系，这一速度\boldsymbol{V}被称为质心速度（系统整体运动速度）。质心这个词是什么意思？容易看到，\boldsymbol{V}正好是如下量对时间的导数：

(20)   \begin{equation*} \boldsymbol{R}=\frac{\sum_im_i\boldsymbol{r}_i}{\sum_im_i}\end{equation*}

而这个量又正好是各质点矢径以质量为平均的加权平均。因此，\boldsymbol{R}代表的那个点被称为质心。

质心坐标系的存在，使我们不用考虑封闭质点系的整体平动，专心于质点系内部的运动变化。特别的，在质心坐标系下，系统的能量可以写作：

(21)   \begin{equation*} E=\frac{1}{2}\mu V^2+U \end{equation*}

其中\mu是系统总质量。

最后我们来看角动量。角动量的情况略微有些复杂，因为它同时牵涉到了质点的坐标和速度。假若两惯性参考系间满足：

(22)   \begin{equation*}\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}'+\boldsymbol{a}\end{equation*}

(23)   \begin{equation*}\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}'+\boldsymbol{a}\end{equation*}

那么根据角动量的表达式，容易得到：

(24)   \begin{equation*} \boldsymbol{J}=\boldsymbol{J}'+\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{P}+\mu\boldsymbol{R}\times\boldsymbol{v}+\mu\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{v} \end{equation*}

从上式中我们能知道些什么呢？(1)角动量的值依赖于坐标原点的位置，但鉴于动量的守恒，角动量依然守恒；(2)若K为质心坐标系，\boldsymbol{R}=0，\boldsymbol{P}=0，\mu\boldsymbol{V}=\boldsymbol{P}'即系统的总动量，这样，K'系中的角动量事实上就成为了“内禀角动量”和系统总角动量之和，与动量的情况何其类似。

以上就是本篇的内容，以上三篇就是拉格朗日力学的大纲。这一系列笔记不准备继续讨论有关质点运动——诸如碰撞、振动等——的更详细的内容，原则上它们都可以通过解拉格朗日方程得到。下一步，我们将看看拉格朗日力学更对称更几何的形式——哈密顿力学。但是，鉴于哈密顿力学的博大精深和与数学、特别是辛几何的密切联系，谁知道下一篇是什么时候呢？\笑