作者按：因各类需要，目前正在使用《朗道理论物理学教程》的《力学》重新学习理论力学，因此撰写该学习笔记，记录学习所得，以备不时之需。因个人理念原因，该学习笔记将不完全按照《力学》中的顺序撰写，而是首先介绍最小作用量原理，并导出拉格朗日方程和正则方程，得到守恒律，然后进入哈密顿力学，介绍一些重要的原理和定理，并分析在不同情形下的运动。

一.最小作用量原理

最小作用量原理可谓是物理学的核心。在物理学，特别是理论物理，的各个领域，绝大多数本质性的规律都可以从最小作用量原理导出。那么最小作用量原理是什么呢？简单地说，对任意物理系统，表征系统沿某路径演化的量——即作用量——必须取最小值（更严格地说，必须取极值）。为了得到最小作用量原理的数学形式，我们首先需要用哪些量描述系统的状态。

首先，我们看常见的运动，如多个无相互作用粒子在重力场中的运动。可以看到，为了描述这个粒子的状态，最直观的，我们需要知道粒子的位置（位矢）\boldsymbol{\vec{r}}_i和速度\boldsymbol{\vec{v}}_i=\mathrm{d}\boldsymbol{\vec{r}}_i/\mathrm{d}t。一般而言，对于一个粒子，我们需要3个实数（坐标）才能完全表征它的位置，对于N个粒子，自然需要3N个实数。所用于表征系统位置所需坐标的数目称系统的自由度。另外，为了准确计算和预测粒子过去和未来的运动，我们还需要知道时间t。因此，我们看到，描述这个粒子状态所需的参量有位置\boldsymbol{\vec{r}}、速度\boldsymbol{\vec{v}}和时间t。推而广之，我们就有广义坐标和广义速度：

1.广义坐标、广义速度

如前所言，从对系统状态的直观描述中，我们可抽象出广义坐标和广义速度。广义坐标，是用于描述系统位置的量。对于s个自由度的系统，其广义坐标的数目为s。请注意，上面所说的位矢是广义坐标的一类，而广义坐标又不仅包含位矢，如角度、相对距离等，只要能完全描述系统位置，都可以作为广义坐标。广义坐标一般用q表示。

与速度对应，广义速度被定义为广义坐标对时间的导数：\dot{q}=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t。我们看到，广义坐标与广义速度一起，共同决定了系统的运动。为什么？试看如下例子。假定我们知道了某粒子在三维空间中的运动轨迹，那么显然，我们仅需要1个广义坐标——如粒子距轨迹上某点的线长——就能完全描述粒子的位置。但是，粒子在什么时候抵达轨迹上的某点？粒子又在什么时候抵达轨迹上的另一点？仅借助广义坐标（更明确的说，知道轨迹上某点的广义坐标）并不能告诉我们答案。然而，结合广义速度（知道轨迹上某点的广义速度），我们就能知道上述信息。

但是，且慢，加速度的问题呢？在普通物理中，往往需要从受力方程和加速度出发，才能知晓系统如何运动。但是，仅从运动学的角度看，加速度的概念并不是特别必要，例如，在上述的自然坐标系（即采用线长为广义坐标）中，仅通过广义坐标和广义速度就能计算出加速度。

事实上，这在数学上对应于，通过轨迹上相同的点为中介自然导出了广义坐标和广义速度的关系，而这一关系可写为一个一阶微分方程，结合初始条件就可以得到广义坐标随时间的变化。因此我们看到，在这里，仅用广义坐标和广义速度（作为时间的函数）就能完全描述系统的状态。

2.拉格朗日方程

我们看到，通过广义坐标和广义速度就能完全描述系统的状态。但是，我们注意到，作用量是表征系统演化路径的量，通过作用量，我们希望得出关于系统如何演化的信息。因此，作用量S应当是系统演化路径的函数。更清楚的说，应当是某个函数L沿系统演化路径的积分。这个函数应当是系统状态的函数，即：

(1)   \begin{equation*} S=\int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q},t)\mathrm{d}t \end{equation*}

其中t_1为系统初始时刻，t_2为系统末时刻。依照最小作用量原理，S应当取极值，即：

(2)   \begin{equation*} \delta S=0 \end{equation*}

由此，我们看到，最小作用量原理的实质是作用量 S 的变分为0.于是，对 q 变分，我们有：

(3)   \begin{equation*} \int_{t_2}^{t_1}(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta \dot{q})\mathrm{d}t=0 \end{equation*}

由于 \delta \dot{q}=\mathrm{d}\delta q/\mathrm{d}t，因此对第二项分部积分，就得到：

(4)   \begin{equation*} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\vert^{t_2}_{t_1}+\int^{t_2}_{t_1}(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\mathrm{d}}{\mahtrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}})\delta q\mathrm{d}t=0 \end{equation*}

考虑到无论如何进行变化，系统的初末位置都不应该变化，即 \delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0 ，因此，上式的第一项为0.于是，若要 \delta S=0，而 \delta q是任意的，因此只有：

(5)   \begin{equation*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0 \end{equation*}

这就是著名的、在理论力学中起核心作用的拉格朗日方程。可是，或许会问，对于多个自由度的系统呢？很显然，在以上的推导中我们只考虑了一个自由度，而对于多个自由度的情况，只需要对每个自由度独立进行变分，就能得到：

(6)   \begin{equation*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0 \end{equation*}

其中i=1,...,s。可以看到，这 s 个方程是q_i(t)的二阶微分方程。通过这些方程，就能确定q_i(t)，从而确定系统的运动。唯一的问题是，这个解包含了 2s 个未知常数，不过问题不大，通过系统的初始条件，如初始位置和速度，恰好可以确定这些常数。

那么，拉格朗日方程具有什么性质？拉格朗日函数 L 应当取什么形式？我们下一节继续讲。