最近在阅读Algebra: Chapter 0的时候，看到这么一条无名无姓的定理：

定理：设f: A\to B是任意函数，则f可按如下方式分解：

(1)   \begin{equation*} A\twoheadrightarrow (A/\sim) \to \mathrm{Im}(f) \hookrightarrow B \end{equation*}

其中，\sim是通过f定义的等价关系：a\sim b \Leftrightarrow f(a)=f(b)；第一个映射是所谓的正则投影（canonical projection）；第二个映射是有一个同构映射：\tilde{f}([a]_\sim)=f(a)，其中[a]_\sim即a所在的等价类；第三个映射是很自然的，就不用多说了。

为什么会注意到这么一条定理呢？是因为代数基础的课上刚学习了群和环的同态定理，简单起见，以群同态定理为例：

定理：设G和G'是群，f: G \to G'是群同态，则\mathrm{Im}(f)是G'的子群，\mathrm{Ker}(f)=\{g\in G|f(g)=e_{G'}\}是G的正规子群，同时有群同构：

(2)   \begin{equation*} \bar{f}: G/\mathram{Ker}(f) \to \mathrm{Im}(f) \end{equation*}

同态定理给出了一个从商集到像集的同构映射，而上述函数的分解同样也给出来了一个这样的同构映射。这就不由得让人浮想联翩了：同态定理会是上述函数分解的直接结论吗？

答案是肯定的。为了看到这一点，我们只需要证明在群的条件下，等价类集合\{[a]_\sim\}（也就是(A/\sim)）就是G/\mathrm{Ker}(f)就行了。

首先，通过定义可以看到，\mathrm{Ker}(f)显然是一个等价类，而根据群同态的性质，这个等价类就是[e_G]_\sim。进一步，我们知道，G/\mathrm{Ker}(f)实际上是这样的G的子集的集合：\{g\mathrm{Ker}(f)|g\in G\}，因此我们需要证明，[g]_\sim=g\mathrm{Ker}(f)：

(1)\forall g_1, g_2\in g\mathrm{Ker}(f)，都有g_1=ga, g_2=gb, a,b\in\mathrm{Ker}(f)。那么显然有

    \[f(g_1)=f(ga)=f(g)f(a)=f(g)e_{G'}=f(g)f(b)=f(gb)=f(g_2)\]

从而g_1\sim g_2。

(2)\forall g_1,\in [g]_\sim，有f(g_1)=f(g)，从而有f(g_1)=f(gg')，其中g'\in \mathrm{Ker}(f)。因此\exists g'\in \mathrm{Ker}(f)，使得g_1=gg'，从而g_1\in g\mathrm{Ker}(f)。

综上，就有[g]_\sim=g\mathrm{Ker}(f)，于是等价类集合[g]_\sim就是商集G/\mathrm{Ker}f。既然商集就是等价类集合[g]_\sim，那么同态定理的成立就是显然的了。

回过头来再看一看，或许可以说，群同态映射中要求“保乘法运算、单位元映到单位元、逆元映到逆元”事实上就是保证了(A/\sim)就是G/\mathrm{Ker}(f)。而对于一般的群到群的映射（不是同态映射），虽然也可以做函数分解，但显然由这样一个函数分解并没有传递群的性质，不保证分解中各个集合都是群，对于研究群的性质并没有什么用。换句话说，群的定义所附加的要求实际上是对分解的函数提出了要求，而对分解本身没有任何影响，反而让分解有了更好的性质。