从无到全(3.5)：有理数的阿基米德性

本来想直接写“从有理数到实数”这一篇的，却发现里面的内容比前几篇都要繁琐得多。因此，这里先写个间章，把下一篇中要用到的一个小结论写出来，以免介绍实数的构造时太过繁复又牵涉到不太相关的主题。

没有最大的有理数，也没有最小的有理数，这是我们习以为常的知识。有理数的阿基米德性正是描述了这一常识。这一性质可以表述为：

若 $x,\,y\in\mathbb{Q}^+,\,y>x>0$ ，那么 $\exist n\in\mathbb{N}$ ，使得 $nx>y$ 。

事实上，这里的 $x$ 和 $y$ 可以取任意有理数，不过其他情况要么可以很轻易的得到证明，要么可以很简单的化归到这一情况，因此这里从略，单证明上面这一条——当然，这一条的证明是很容易的：

因为 $x$ 和 $y$ 是有理数，因此有 $x=p/q$ ， $y=r/s$ ，这里 $p,\,q,\,r,\,s,\,\in\mathbb{N}^+$ 。从而若要 $nx>y$ ，只需 $n>qr/ps$ ，而显然 $qr/ps\leq qr$ 是个整数，因此只需要 $n>qr$ 即可，譬如 $n=qr+1$ 。

很简单的性质。进一步，可以证明 $\exist n\in\mathbb{N}$ ，使得对于任意有理数 $x>0$ 和 $y$ ，都有 $nx<y$ （ $x<0$ 的情况是类似的）。类似上面的证明，只需要 $n<qr/ps$ 即可。

那么接下来，稍微做一个练习。考虑如下的 $\mathbb{Q}$ 的真子集：

(1) $\alpha \neq \emptyset$ ；

(2) 若 $p\in\alpha$ ， $q\in\mathbb{Q}$ 且 $q<p$ ，则 $q\in\alpha$ ；

(3) $\forall p\in\alpha$ ， $\exists r\in\alpha$ ，使得 $p<r$ 。

相信有经验的读者立刻就能看出来这是什么。暂时不考虑这样的集合的存在性，默认它是存在的，这一点将在之后得到证明。接下来证明， $\forall w\in\mathbb{Q},\,\exist n\in\mathbb{N}$ ，使得 $nw\in\alpha$ 而 $(n+1)w\notin\alpha$ 。

对于这样的 $\alpha$ ，可以证明它在 $\mathbb{Q}$ 中存在上界：若不存在上界，则 $\forall p\in\mathbb{Q}$ ，都 $\exist q\in\alpha$ ，使得 $q>p$ ，否则 $p$ 就是 $\alpha$ 的上界。那么就有 $q\in\alpha$ ，从而 $\mathbb{Q}\subset \alpha$ ，这与 $\alpha$ 是 $\mathbb{Q}$ 的真子集矛盾。那么，假定 $\alpha$ 的一个上界是 $a$ 。根据有理数的阿基米德性，对于 $w$ ，存在 $n\in\mathbb{N}$ ，使得 $nw>a$ 。那么若 $(n-1)w\in\alpha$ ，则定理得证；若 $(n-1)w\notin\alpha$ ，则继续考虑 $(n-2)w$ ……这样的过程是有穷的，因为 $\forall b\in\alpha$ ， $\exist n'\in\mathbb{N}$ ，使得 $n'w<b$ 。那么有 $n'w<b<a<nw$ ，从而 $n'<n$ 。从而可见，当 $n$ 降低至 $n'$ 时，就有 $n'w\in\alpha$ ，从而必定存在一个 $n$ ，使得 $nw\in\alpha$ 而 $(n+1)w\notin\alpha$ 。由此，命题得证。