在上一篇文章中，我们通过构建自然数上的等价关系，给出等价关系对应的分割，并通过定义整数集合就是这些分割的方式，从自然数构造出了整数。我们看到，整数与从自然数加法、乘法推广得到的整数上的加法与乘法一起构成了一个环。作为一个环，整数内有加法逆元，但是没有乘法逆元。这很好，但不完全好。如果能在向整数里面引入乘法逆元，将其扩张成一个域，就再好不过了。这样做的结果就是，我们能抵达有理数。

首先来看看域的定义。一个集合F配合其上的封闭运算加法和乘法(F,\,+,\,\times)被称为域，当且仅当：

(1) 对于加法，有A. 恒元0；B. 交换；C. 结合律；D. 可逆 ；

(2) 对于乘法，有A. 幺元1且1\neq0；B. 交换；C. 结合律；D.除恒元外可逆；

(3) 乘法对加法满足分配律。

简单的说即：(1)含幺交换环；(2)0\neq1；(3)非零元可逆。对照整数上的加法和乘法，可以看见，关键是要引入乘法逆元。那么，类比我们引入加法逆元的过程，我们应当也能按照类似的做法，在\mathbb{Z}^2上针对乘法构造一个等价关系，并将有理数集定义为 \mathbb{Z}^2对这个等价关系的商集，最终证明有理数集满足域的公理，是一个合格的域。

一. 有理数集的构造

从经验上说，一个有理数能表示成p/q的形式，这里q\neq 0。因此我们考虑定义集合A=\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}-{0})上的加法和乘法如下：

加法：(p,\,q)+(m,\,n)=(pn+qm,\,nq)；

乘法：(p,\,q)\times (m,\,n)=(pm,\,nq)。

类似的，在不引起混淆的情况下，后文中的加号和乘号都省略。通过上述方法定义的加法和乘法满足交换律和结合律，这一点可以通过A上加法和乘法的各运算律导出来。鉴于乘法的交换律和结合律极其显然，这里就以加法为例好了：

(1) 交换律：

(1)   \begin{equation*}(p,\,q)+(m,\,n)=(pn+qm,\,nq)=(mq+np,\,qn)=(m,\,n)+(p,\,q)\end{equation*}

(2) 结合律：

(2)   \begin{align*}[(p,\,q)+(m,\,n)]+(s,\,t)&=(pn+qm,\,nq)+(s,\,t)=(pnt+qmt+snq,\,nqt)\\&=(p,\,q)+(mt+sn,\,nt)= (p,\,q)+[(m,\,n)+(s,\,t)]\\ \end{align*}

可惜的是，目前为止乘法对加法的分配律还不能成立。不过这并不重要，因为这还只是A上的运算而已，距离\mathbb{Q}还有一段距离。接下来我们定义引入乘法逆元所需要的等价关系：

等价关系：若(p,\,q),\,(m,\,n)\in A，且pn=qm，则称(p,\,q)与(m,\,n)等价，记作(p,\,q)\sim(m,\,n)。

这样的定义是合理的，接下来我们就来验证合理性。

(1) 自反性：显然，\forall (p,\,q)\in\mathbb{Z}^2，都有p\times q=p\times q，所以(p,\,q)\sim(p,\,q)；

(2) 对称性：\forall (p,\,q),\,(m,\,n)\in\mathbb{Z}^2，若 (p,\,q)\sim(m,\,n)，则pn=qm，从而np=mq，于是(m,\,n)\sim(p,\,q)；

(3) 传递性：\forall (p,\,q),\,(m,\,n),\,(s,\,t)\in\mathbb{Z}^2，若(p,\,q)\sim(m,\,n)，(m,\,n)\sim(s,\,t)，则：

(3)   \begin{equation*}pn=qm\Longrightarrow pnst=qmst\Longrightarrow ptns=qsmt\end{equation*}

而(m,\,n)\sim(s,\,t)，从而ns=mt，于是

(4)   \begin{equation*}pt=qs\end{equation*}

故而(p,\,q)\sim(s,\,t)。

因此上述定义得到的关系确实是一个等价关系。关于这个等价关系，我们能够看到一个很有趣的性质：若(p,\,q)\in A，m\neq0\in A，那么(p,\,q)\sim(mp,\,mq)，这是显然的。这个性质将帮助我们证明乘法对加法的分配律的成立。

那么，类似于我们之前所做的，就可以得到\mathbb{Z}^2对这个等价关系的分拆。这些等价类的集合就是我们所希望得到的有理数集\mathbb{Q}。接下来，我们就来证明在这个\mathbb{Q}上加法和乘法都满足域的公理，使得它成为一个域。

二. 从有理数集到有理数域

首先是\mathbb{Q}上的运算。类似于之前的操作，我们定义等价类之前的运算就是代表元之间进行运算：\forall a, b\in \mathbb{Z}^2：

(1) 加法：\overline{a}+ \overline{b}= \overline{a+b}；

(2) 乘法：\overline{a}\times\overline{b}= \overline{ab}。

首先，我们来验证这样的定义是合理的。对于加法：

若q_1,\,q_2\in\mathbb{Q}，(a_1,\,b_1)，(a_2,\,b_2)是q_1的两个不同代表元，(c,\,d)是q_2的代表元，那么：

(5)   \begin{equation*} \overline{(a_1,\,b_1)}+\overline{(c,\,d)}=\overline{(a_1,\,b_1)+(c,\,d)}=\overline{(a_1d+cb_1,\,b_1d)}\end{equation*}

(6)   \begin{equation*} \overline{(a_2,\,b_2)}+\overline{(c,\,d)}=\overline{(a_2,\,b_2)+(c,\,d)}=\overline{(a_2d+cb_2,\,b_2d)}\end{equation*}

此时，因为(a_1,\,b_1)\sim(a_2,\,b_2)有：

(7)   \begin{equation*}a_1b_2d^2+cb_1b_2d=b_1a_2d^2+cb_1b_2d\end{equation*}

从而两代表元是等价的，因此加法的定义是合理的。对于乘法：

(8)   \begin{equation*} \overline{(a_1,\,b_1)}\times\overline{(c,\,d)}=\overline{(a_1,\,b_1)\times(c,\,d)}=\overline{(a_1c,\,b_1d)}\end{equation*}

(9)   \begin{equation*} \overline{(a_2,\,b_2)}\times\overline{(c,\,d)}=\overline{(a_2,\,b_2)\times(c,\,d)}=\overline{(a_2c,\,b_2d)}\end{equation*}

因此有a_1b_2cd=a_2b_1cd，从而两等价元等价，因此乘法的定义也是合理的。

1. 运算律

根据加法和乘法的定义，有理数集上加法和乘法各自的交换律和结合律是显然的。那么剩下的运算律就是分配律了。我们现在就来证明分配律。

考虑三个等价类\overline{p,\,q}，\overline{(m,\,n)}，\overline{(s,\,t)}，有：

(10)   \begin{equation*}\overline{(p,\,q)}[\overline{(m,\,n)}+\overline{(s,\,t)}]=\overline{(p,\,q)(mt+ns,\,nt)}=\overline{(pmt+pns,\,qnt)}\end{equation*}

由于(pmt+pns,\,qnt)\sim(pqmt+pqns,\,q^2nt) ，而

(11)   \begin{align*}\overline{(pqmt+pqns,\,q^2nt)}&=\overline{(pm,\,qn)+(ps,\,qt)}=\overline{(p,\,q)(m,\,n)+(p,\,q)(s,\,t)}\\&=\overline{(p,\,q)}\overline{(m,\,n)}+\overline{(p,\,q)}\overline{(s,\,t)}\\\end{align*}

上述证明反之亦然，从而乘法对加法的分配律是成立的。接下来，我们来看看加法和乘法的恒元和逆元。

2. 恒元与逆元

注意到我们如此定义运算的动机，我们可以考虑如下的等价类：\overline{(0,\,1)}，可以看到，对于加法，他满足：

(12)   \begin{equation*}\overline{(a,\,b)}+\overline{(0,\,1)}=\overline{(a,\,b)}\end{equation*}

更一般的，对于\overline{(0,\,1)}内的任意代表元(0,\,n)，都有：

(13)   \begin{equation*}\overline{(a,\,b)}+\overline{(0,\,n)}=\overline{(an,\,bn)}=\overline{(a,\,b)}\end{equation*}

可见，对于加法，其恒元为\overline{(0,\,n)}。类似的，对于乘法，考虑\overline{(n,\,n)}，有：

(14)   \begin{equation*}\overline{a,\,b}\times\overline{(n,\,n)}=\overline{(an,\,bn)}=\overline{(a,\,b)}\end{equation*}

因此，乘法的幺元即是(n,\,n)。

对于逆元，则可以容易的验证，对元素\overline{(a,\,b)}，加法的逆元是\overline{(-a,\,b)}，（若a\neq0）乘法逆元是\overline{(b,\,a)}。逆元的验证就留给读者了。

综合上述证明，我们看到，集合\mathbb{Q}确实满足作为域的各项性质。因此我们知道，\mathbb{Q}的确是域。

三. 作为\mathbb{Q}的子集的\mathbb{Z}

在之前的文章中，我们并没有详细讨论为何用“下级”集合构造出的“上级”的集合包含“下级”的集合并将其作为子集，同时“上级”集合中的运算为何与“下级”集合中的运算保持一致。现在，借着我们终于抵达了域这一级代数结构的机会，我们来详细讨论一下这个问题。

目前为止，在这里定义的\mathbb{Q}与\mathbb{Z}并不存在任何的包含关系。这是因为二者的元素根本就不一样：\mathbb{Q}的元素是对集合A的分拆，而\mathbb{Z}的元素则是\mathbb{N}^2的分拆。可以说，前者的元素是后者的有序对的集合。因此，二者并不存在任何的包含关系。但是，在数学中，我们经常使用“\mathbb{Z}是\mathbb{Q}的子集”这样的述语。这样的述语是对的吗？自然也是对的，不过要看到这句述语的正确性，我们还要往前走一小步。

考虑\mathbb{Q}的子集\mathbb{Z}'=\{\overline{(n,\,1)}|\,n\in\mathbb{Z}\}。显然，在\mathbb{Z}'与\mathbb{Z}之间存在一个一一对应的关系：f:\,\overline{(n,\,1)}\mapsto\,n。如果我们进一步考察\mathbb{Z}'上的运算，就能看到：

(15)   \begin{equation*}\overline{(n,\,1)}+\overline{(m,\,1)}=\overline{(n+m,\,1)}\end{equation*}

(16)   \begin{equation*}\overline{(n,\,1)}\times\overline{(m,\,1)}=\overline{(nm,\,1)}\end{equation*}

于是我们可以证明f这个映射具有保运算的特征，简单的说即f(n+m)=f(n)+f(m)，f(nm)=f(n)f(m)。因此\mathbb{Z}'和\mathbb{Z}是同构的。既然是同构的，那么它们都可以认为是整数环的一种表示。因此我们把前者认作新的整数环，而把后者“忘记”。这样，我们就能看到，\mathbb{Z}的确是\mathbb{Q}的子集，同时还保持了所有的”旧“整数环的性质。在之前和之后的文章中，我们都遇到过或将再次遇到这样的问题，解决方法也都是类似的，即在新的集合中找出与旧集合同构的部分。

四. 回归到通常的记号

那么，实际上整个有理数域\mathbb{Q}就已经构造完成了，但这与通常的记法还有一些区别，毕竟实际使用中没人把一个有理数写成\overline{(a,\,b)}。因此，我们将引入下列记号，来使整个记号系统回归到通常使用的形式上。

记号1：乘法的幺元\overline{(n,\,n)}记作1，加法的恒元\overline{(0,\,n)}记作0；

记号2：\forall a,\,b\in\mathbb{Q}，b\neq0，将a\times b^{-1}记作a/b，或\dfrac{a}{b}；

记号3：若\overline{(a,\,b)}\in\mathbb{Z}，即(a,\,b)\sim(n,\,1)，则将\overline{(a,\,b)}简记为n。

注意到，\forall\overline{(a,\,b)}\in\mathbb{Q}，都有：

(17)   \begin{equation*} \overline{(a,\,b)}=\overline{(a,\,1)}\times\overline{(1,\,b)}=\overline{(a,\,1)}\times\overline{(b,\,1)}^{-1}\end{equation*}

那么，按照上述记号，就有\overline{(a,\,b)}=\dfrac{a}{b}。可见，这就回到了我们熟悉的“一个有理数总能表示成两个整数之商”的形式，一个有理数就能用这样的分数的形式表示出来。而一个有理数的各种（非最简）分数的表示，如a/b，2a/2b，3a/3b……等等，实际上都是代表元选取的不同的结果。当然，我们可以在整数环上引入互质的概念，从而给出一个选取代表元的方案，不过这和本文的主题稍有偏离，因此就略去了。此外，我们还能轻易看到这套记号系统与之前定义的运算规则的一致性，这里当然也略过不谈，毕竟太简单了。

五. 有理数域的序

在结束本文之前，我们还要引入一个在之前并没有得到过多重视的概念：序。虽然这个概念很简单，但从有理数域开始，序的概念就逐渐重要了起来，首当其冲的就是在下一节中我们将看到，序对我们引出实数域有着非常重要的作用。

一个集合A上的“序”是一种关系，通常被记作<，他满足：

(1) \forall a,\,b\in A，x<y，x=y，y<x中有且仅有一个成立；

(2) \forall a,\,b,\,c\in A，若x<y，y<z，则x<z。

在自然数集上，序可以简单的定义：\forall x,\,y\in\mathbb{N}，若\exits r\neq 0\in\mathbb{N}，使得x+h=y，则称x<y。首先，我们来证明上述定义的关系满足序的条件：

首先，若x=y，那么若存在r\neq0使得x+r=y，那么根据加法的定义，我们看到对x做r次后继运算就能得到y，而x=y，于是(1)若x=y=0，那么就违反了PA3：0不是任何数的后继；(2)若x=y\neq0，那么就违反了PA4：不同自然数的后继不同，即第x-1个自然数和第x+h-1个自然数有相同的后继，除非这两个自然数也相同。类似的，就得到第x-2个自然数与x+h-2个自然数相同、第x-3个自然数与x+h-3个自然数相同……直到第h个自然数与0相同，即h=0，这与假设矛盾。因此x=y与x<y不能同时成立；类似的，我们可以得到x=y与y<x不能同时成立。

其次，若x\neq y，那么必定存在r\neq 0\in\mathbb{N}，使得x+r=y成立或者y+r=x成立。这是因为，如果不存在这样的r使得上述命题成立，那么就说明既不能由y出发通过后继运算得到x，也不能由x出发由后继运算得到y。那么，我们考虑这样两个集合A和B，其中，A=\{0,\,1,\,2,\,...\,y\}，即由0开始通过后继运算直到y的集合。因为不能由x不断做后继运算得到y，因此x\notin A；B={y',\,y'',\,...}，即y的后继、后继的后继……构成的集合，显然x\notin B，否则就能由y做后继运算得到x。这样，x\notin A\cup B，但根据数学归纳法，A\cup B=\mathbb{N}，因此x\notin\mathbb{N}，这就有了矛盾。因此，命题成立。

再次，若x\neq y，那么x<y和y<x只有一个成立。这是因为，若存在x\neq y使得x<y且y<x，那么就存在r,\,s\neq 0使得x+r=y和y+s=x，即x+r+s=x，这就违反了PA4.

因此，序的要求中第一条就被满足了。第二条则是显然的，同样留给读者自己去思考了。这样，我们就在\mathbb{N}上定义了序关系。\mathbb{Z}上的序关系更简单：\forall x,\,y\in\mathbb{Z}，若x-y\in\mathbb{N}\setminus\{0\}，那么y<x。在整数群的群的结构的帮助下，证明上述定义符合要求更加简单。

那么，我们现在就来到了有理数域上的序。有理数上的序由整数集上的序诱导得到：若p,\,q\in\mathbb{Q}，p=\overline{(a,\,b)}，q=\overline{(c,\,d)}，那么p<q定义为abd^2<cdb^2，后者中的序关系是整数集上的序关系。上述定义满足序的条件(1)是显然的。对于条件(2)，若p,\,q,\,r\in\mathbb{Q}，p=\overline{(a,\,b)}，q=\overline{(c,\,d)}，r=\overline{(e,\,f)}，且p<q，q<r，那么有abd^2<cdb^2，cdf^2<efd^2，从而(1)若cd^3<0，那么abd^2cdf^2>cab^2cdf^2，又cdb^2cdf^2>efd^2cdb^2，故abcd^3f^2>cb^2d^3ef，而cd^3<0，故abf^2<efb^2；(2)若cd^3>0，则abd^2cdf^2<cab^2cdf^2，又cdb^2cdf^2<cdb^2efd^2，从而abcd^3f^2<cb^2d^3ef，故abf^2<efb^2；(3)若c=0，则abd^2<0，efd^2>0，故ab<0<ef，自然有abf^2<efb^2。从而我们看到，上述的关系的确是有理数上的序。这样，有理数域就成为了有序域。

在以上的讨论中，虽然我们只定义了<符号，但>、\leq、\geq都能十分容易的根据<定义出来，如>是：若p<q，那么q>p。

有序域的概念十分重要，我们马上就会看到。不过，在这里，还可以插入一条定理，它是有理数域和之前的整数集、自然数集等之间的一个十分重要的区别。这条定理是说，若p,\,q\in\mathbb{Q}且p<q，那么\exist r\in\mathbb{Q}，使得p<r<q。这个定理这里不打算证明，但聪明的读者应该知道如何构造。

六. 有理数域的局限性：我们为什么需要实数域

那么最后，作为一个承上启下、引出下一篇文章的引子，我们来谈谈有理数域的局限。首先，众所周知的是，有理数域不具有代数完备性。也就是说，对于有理数域上的任意多项式方程，不是每一个方程都在有理数域内有根的。然而，虽然要在下一篇文章中才谈到，但实际上可以先在这里提一下，即实数域也并不是代数完备的。为了解决代数完备性的问题，我们必须要走进复数域中。因此，实数域并不是解决代数完备性问题的最终答案，而只是其中的一站而已。

其次，也是由上述问题进一步揭示的，有理数域并不具有最小上界性。

最小上界性是指，对一个非空集合A，若\forall B\subset A，\exist \alpha\in A，使得(1) \forall \beta\in B，\alpha>\beta（即\alpha是B的上界）；(2) 若\gamma<\alpha，则\exist \beta'\in B，使得\beta' >\gamma（即\gamma不是B的上界），此时称A具有最小上界性。

可以随意举一个例子来验证有理数域不具有最小上界性。这里引用Rudin的一个例子：考虑所有满足p^2<2的正有理数构成的集合A和q^2>2的正有理数构成的集合B。\forall p>0\in\mathbb{Q}，考虑

(18)   \begin{equation*} q=p-\frac{p^2-2}{p+2}\end{equation*}

(19)   \begin{equation*} q^2-2=\frac{2(p^2-2)}{(p+2)^2}\end{equation*}

那么若p\in A，那么p^2-2<0，q>p；而由最后一个式子可见q^2<2，故q\in A。因此在A中不存在A的上界。若p\in B，那么类似有q<p；而最后一个式子说明q^2>2，故q\in B，因此在B中虽然存在A的上界，但是不存在最小上界。因此A没有最小上界。可见Q不存在最小上界性。同样借用Rudin的话，“\mathbb{Q}中不具有最小上界性说明虽然\mathbb{Q}是稠密的，但依然存在一些空隙”。要填补这些空隙，就是实数集的任务了。也正因如此，实数集虽然不具有代数完备性，但也是数学，特别是分析学的核心。那么，下一篇文章，我们就来讲讲如何构造实数集。