从无到全（2）：从自然数到整数

在上一篇文章中，我们成功的构造了自然数。回顾一下，自然数集 $从无到全（2）：从自然数到整数$ 是一个满足数学归纳法的 $(\mathbb{N} ,0 ,')$ 系统，其中 $'$ （后继运算）是一个单射。在代数结构上，我们定义了与通常的直觉相符的加法和乘法，并且证明自然数集 $\mathbb{N}$ 对于加法运算和乘法运算都构成一个半群。

但是，半群的性质并不是那么的好。譬如说，在 $\mathbb{N}$ 中虽然对于加法和乘法都有单位元，但是绝大多数元素都没有逆元——无论是加法逆元还是乘法逆元。因此，为了实际生活的需要、数学研究的需要和美观的考虑，我们都不希望一个日常接触到的数集拥有如此残缺的性质。因此，在这篇文章中，我们首先暂时抛开乘法不谈，只考虑加法，在 $\mathbb{N}$ 引入加法逆元，构造出所谓的整数集 $\mathbb{Z}$ 。

一.简单粗暴的构造方法

讨论这种构造方法前，我们先来看看自然数上的序结构。这会为之后的讨论带来一些方便。

一般的直觉是，如果某个数 $b$ 在另一个数 $a$ “后面”，也就是我们能通过后继运算从 $a$ 得到 $b$ ，那么我们就称 $b>a$ 。进一步，通过上一篇文章中对加法的讨论，我们知道后继运算可以用 $+1$ 来表示。这样，我们尝试定义如下的序：

$\foirall a\neq b\in\mathbb{N}$ ：若 $\exists c\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ ，使得 $a+c=b$ ，就称 $a<b$ ，反之就称 $a>b$ 。

可以证明， $\forall a, b\in\mathbb{N}$ ， $>$ 、 $=$ 和 $<$ 中仅存在且必存在一个。例如，若 $a=b$ 又存在 $c$ 使得 $a+c=b$ ，那么就有 $a=a+c$ ，从而对 $a$ 做 $c$ 次后继运算就能回到 $a$ ，这违反了PA4和/或PA3。又如，对任意的自然数 $a$ 、 $b$ ，由于只有通过PA1和PA2得出的才是自然数（由数学归纳法可以证明），于是要么 $a=b$ ，要么 $a$ 是 $b$ 的后继，要么 $b$ 是 $a$ 的后继，因此 $a$ 与 $b$ 之间必然有大小关系。

这样，我们可以看到，自然数集还是有序集。进一步，自然数集甚至是良序集，不过这里就不加以讨论了。

回想一下在小学时学习整数时是怎么操作的。当时我们简单的说，整数由正整数、0和负整数组成，其中对于任意一个正整数，就比如说7，有对应的负整数-7，同时有二者之和为0。也就是说，我们实际上是对于任意一个自然数 $a\in\mathbb{N}$ ，我们都直接引入它的逆元 $b$ ，使得 $a+b=b+a=0$ ，同时把 $b$ 记作 $-a$ 。而至于这个 $-a$ 到底是个什么东西，我们是完全不了解的，反正用就是了（反正习惯他就是了）。但是请读者注意，这里的 $-$ 号与减法没有关系，而是代表对后面的元素取逆。而后，我们再来证明加入负整数后，整数仍然满足加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。出于行文简单起见（毕竟这种方法太过于简单粗暴，没有任何细节，不是笔想要论述的重点），我们就只看一看它们是如何满足加法交换律的，其他的读者如果有兴趣可以自行证明。

首先，我们可以看到，对于 $a, b\in \mathbb{N}$ 和 $a, b$ 互逆的情况下，加法交换律已经满足了。因此我们只需要看二者之间有一个是负整数和全是负整数的情况。我们先假定二者都是负整数。这样的情况下，我们不妨将他们更具体的写为 $-a$ 和 $-b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是不同的自然数。进一步，我们不妨假设 $b>a$ ，对于 $b<a$ 的情况可以类似证明，二者相等的情况就更不用说了。那么有：

$-a+(-b)=0+(-a)+(-b)+0=-b+b+(-a)+(-b)+a+(-a)$

由于 $b>a$ ，因此必然存在 $c$ ，使得 $c+a=b$ ；进一步有 $-b=-c+(-a)$ 。注意这里不是什么类似于乘法分配律的东西，而是因为 $b$ 和 $-b$ 是互逆的。那么就有：

$-a+(-b)=-b+c+a+(-a)+(-c)+(-a)+a+(-a)=-b+c+(-c)+(-a)=-b+(-a)$

因此对于二者都是负整数的情况，它们满足加法交换律。对于二者一正一负的情况，我们就能做如下的证明：

我们假定 $b=-c, c\in\mathbb{N}$ ，而 $a$ 是自然数。我们就要证明 $a+(-c)=(-c)+a$ 。这就变得非常容易：

$a+(-c)=-c+c+a+(-c)=-c+a+c+(-c)=-c+a$

笔者注：事实上，这里笔者稍微绕了远。事实上，只需要先证明一正一负的情况下交换律成立，就能直接证明二者都是负整数的情况下交换律成立而不必引入自然数上的序： $-a+(-b)=-b+b+(-a)+(-b)=-b+(-a)+b+(-b)=-b+(-a)$

综上，我们可以证明这样定义的整数能满足各种律。进一步，我们可以把 $a+(-b)$ 简记为 $a-b$ ，这样就完全回到了我们所熟悉的整数上去。

但是，这样仍然有一个问题，那就是，比如说 $-5$ ，到底是个什么玩意？当我们说 $5$ 时，我们知道我们在讨论的是 $0$ 的后继的后继的后继的后继的后继，我们知道它是自然数，我们了解在自然数上有什么结构。但讨论 $-5$ 时不行，我们只知道它是 $5$ 的逆元，但是其他的性质和结构呢？完全不知道。这是让人难以接受的。更重要的是，我们将负整数作为自然数的逆元引入时，首先隐含了自然数存在逆元（在我们对这个逆元的性质完全不了解的情况下）；这就相当于，我们是在把整个universe中的元素一个一个的拿来试，如果是自然数的逆元，那就把它扔到整数集合中。这让人十分难受。

更合适的做法是，我们从自然数集上通过已知的、允许的操作来构造一个集合，并证明这个集合符合我们对整数的一切要求。非常幸运的是，这样的集合是存在的。

二. 更严格的构造方式

这一个构造方式是基于以下的思路：直观上，一个负数来自于一个较小的自然数减去一个较大的自然数；另一方面，一个自然数也可以通过一个较大自然数减去一个较小自然数得到。请注意，虽然这里使用了“减去”这样的述语，但实际上我们并没有在自然数集上定义减法。因此我们要考虑另外的方法：考虑到减法实质上是一个二元有序对，我们就有了定义整数的方法。

考虑集合 $\{(a, b)|a,b\in \mathbb{N}\}$ （也就是 $\mathbb{N}^2$ ），在其上定义等价关系：

$(a, b)\sim(c,d)\Longleftrightarrow a+d=b+c$

这里说明一下等价关系的定义：
(1)在集合 $X$ 上的一个关系 $\sim$ 是指集合 $A\times A$ 的一个子集 $R$ ；若 $(a, b)\in R$ ，则说 $a$ 和 $b$ 有关系 $R$ 。
(2)一个关系 $\sim$ 被称为等价关系，如果这个关系满足a. 自反性： $a\sim a$ ；b. 对称性： $a\sim b\Rightarrow b\sim a$ ；c. 传递性： $a\sim b, b\sim c \Rightarrow a\sim c$ 。

可以证明这样定义的关系的确是 $\mathbb{N}^2$ 上的一个等价关系：若 $(a, b), (c, d), (e, f)\in\mathbb{N}^2$

(1)自反性： $a+b=a+b\Rightarrow(a, b)\sim (a, b)$ ；

(2)对称性： $(a, b)\sim(c,d)\Rightarrow a+d=b+c\Rightarrow c+b=d+a\Rightarrow (c, d)\sim (a, b)$ ；

(3)传递性： $(a, b)\sim(c,d)\Rightarrow a+d=b+c$ ， $(c, d)\sim(e, f)\Rightarrow c+f=d+e$ ，从而 $a+d+c+f=b+c+d+e$ 。由于类似于 $a+b$ 这样的自然数加法可以看作对 $a$ 做 $b$ 次后继运算，因此可以通过数学归纳法和PA4证明 $a+f=b+e$ ，从而 $(a, b)\sim (e, f)$ 。

综上就能知道， $\sim$ 的确是 $\mathbb{N}^2$ 上的一个等价关系。

再插入一点新知识。如果 $\sim$ 是集合 $A$ 上的等价关系，那么可以通过 $\sim$ 诱导出一组 $A$ 的不交子集，且这组子集之并恰为 $A$ 。这组子集称为 $A$ 的分拆。具体的说，定义 $A$ 的子集 $[a]=\{b|b\sim a, b\in A\}$ （即所有与 $a$ 等价的元素构成的集合），那么可以证明 $\{[a]|\forall a\in A\}$ 是 $A$ 的分拆。 $[a]$ 被称为 $a$ 的等价类。容易证明，如果 $a\nsim b$ ，那么 $[a]\cap[b]=\varnothing$ 。为了表征一个等价类，可以用等价类中任意元素作为这个等价类的代表元，所有等价类的代表元的集合被称为代表元系。通常，如果一个等价类的代表元是 $a$ ，那么可以用 $\overline{a}$ 代表这个等价类。

既然 $\sim$ 是一个等价关系，那么就有对应的分拆。我们定义：整数集 $\mathbb{Z}$ 就是 $\mathbb{N}^2$ 在 $\sim$ 下的分拆。关于这一点，如果感到难以理解的话可以看后面的举例，这里先承认是这样吧。

接下来，就涉及到将 $\mathbb{N}$ 上的运算（加法和乘法）推广到 $\mathbb{Z}$ 上（作者认为更合适的说法是，从 $\mathbb{N}$ 上的运算诱导出 $\mathbb{Z}$ 上的运算）。为此，我们先要得到 $\mathbb{N}^2$ 上的运算，再得到 $\mathbb{Z}$ 上的。

1. 加法运算

我们定义 $\mathbb{N}^2$ 上的加法是：

$(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)$

请注意，上述定义式左侧的 $+$ 是 $\mathbb{N}^2$ 的加法，是待定义的；而右侧出现的加法是 $\mathbb{N}$ 上的加法，是已经定义好了的。极容易验证如上的加法运算满足交换律和结合律，这里就不证明了。从上述加法的定义中可以看到，在 $\mathbb{N}^2$ 上有恒元 $(0, 0)$ 。但是可惜的是，虽然有了恒元，但到目前为止（即在 $\mathbb{N}^2$ 上）我们仍然找不到逆元。然而，幸运的是，虽然没有逆元，但是已经非常接近了：对于 $\mathbb{N}^2$ 上的元素 $(a, b)$ ，如果考虑另一个元素 $(b, a)$ ，那么就有

$(a, b)+(b, a)=(b, a)+(a, b)=(a+b, a+b)$

注意我们之前定义等价关系，可以看到 $(a+b, a+b)\sim (0, 0)$ 。也就是说，这二者之和等价于恒元。到这里，聪明的读者已经能看出为何整数集是 $\mathbb{N}^2$ 的分拆和我们为什么要定义这样的等价关系了。不过让我们还是一步一步来，再看看乘法运算。

作者注：从下一段开始，我们会看到乘法运算也具有恒元。为了区别和名词的统一，以后统一称加法运算的恒元为恒元（或单位元，但这里主要用恒元），而乘法运算的恒元则称幺元。

2. 乘法运算

接下来，我们定义 $\mathbb{N}^2$ 上的乘法：

$(a, b)\times(c, d)=(ac+bd, ad+bc)$

在如上的定义下，乘法交换律、结合律和对加法的分配律同样成立：

$(a, b)\times(c, d)=(ac+bd, ad+bc)=(ca+db, cb+da)=(c, d)\times(a, b)$

$\begin{align*}[(a, b)\times(c, d)]\times(e, f)&=(ace+bde+adf+bcf, acf+bdf+ade+bce)\\&=(ace+adf+bcf+bde, bce+bdf+acf+ade)=(a, b)\times[(c, d)\times(e, f)]\end{align*}$

$\begin{align*}(a, b)\times[(c, d)+(e, f)]&=(a, b)\times(c+e, d+f)\\&=(ac+ae+bd+bf, ad+af+bc+be) \\& =(ac+bd, bc+ad)+(ae+bf, af+be) \\& =(a, b)\times(c,d)+(a, b)\times(e, f)\end{align*}$

与加法类似，我们看到通过如上的定义，乘法运算也具有了幺元：考虑元素 $(1, 0)$ ，那么就有：

$(a, b)\times(1, 0)=(1, 0)\times (a, b)=(a, b)$

可见 $(1, 0)$ 就是 $\mathbb{N}^2$ 上的幺元。同时，受到恒元的启发，我们考虑幺元的等价元素 $(d+1, d)$ ，可以看到：

$(a, b)\times(d+1, d)=(ad+a+bd, ad+bd+b)\sim(a, b)$

这意味着什么？我们之后马上会看到，这在整数的乘法中有重要的位置。

另一方面，如果考虑元素 $(0, 1)$ ，我们能看到 $(a, b)\times(0, 1)=(b, a)$ 。这又意味着什么呢？我们也马上就能看到。同时说明，在不至于混淆的情况下，乘号 $\times$ 将如往常一样省略。

3. 整数集上的运算

上面，我们定义了 $\mathbb{N}^2$ 上的加法和乘法。但这和我们要求的 $\mathbb{Z}$ 还有一点距离。但要跨越这点距离很简单，由于 $\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{N}^2$ 的分拆，那么我们只需要定义： $\forall a, b\in \mathbb{N}^2$ ：

(1) 加法： $\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$ ；

(2) 乘法： $\overline{a}\times\overline{b}=\overline{ab}$ 。

即，等价类之间的运算就是代表元进行运算。在这样的定义下，一切运算规则都能非常简单的导出来。但是，在简单的导出来之前，必须证明这样的定义是合理的。具体的说，由于一个等价类可以对应多个代表元，因此我们必须证明对于两个等价类之间的运算，运算结果与代表元的选取无关。这个证明也很容易，有两种思路，一个是把等价类中的元素全部表示出来，然后证明运算之后得到的元素在同一个等价类中；另一个是选取不同的代表元，并证明运算得到的结果等价。这里我们使用后一种思路来证明加法是合理的，乘法由读者自证。

$\forall z_1, z_2\in\mathbb{Z}$ ，若 $(a_1, b_1)$ 和 $(a_2, b_2)$ 为 $z_1$ 的两个不等的代表元， $(c, d)$ 是 $z_2$ 的代表元。那么有：

$z_1+z_2=\overline{(a_1, b_1)}+\overline{(c, d)}=\overline{(a_1+c, b_1+d)}$

另一方面，

$z_1+z_2=\overline{(a_2, b_2)}+\overline{(c, d)}=\overline{(a_2+c, b_2+d)}$

但是，由于 $(a_1, b_1) \sim (a_2, b_2)$ ，从而

$a_1+b_2=a_2+b_1\Longrightarrow a_1+b_2+c+d=a_2+b_1+c+d$

故 $(a_2+c, b_2+d) \sim (a_1+c, b_1+d)$ ，从而定义是合理的。

那么，剩下的就只是平凡的计算与推广了，这里就不再一一详细计算。这样，我们就完成了整数集和整数集上的运算。

三. 一些例子和解释

在继续前进前，先让我们停下来看几个例子，以帮助对上面一节所讲内容的理解。

首先，我们曾提到过，将整数定义为一个自然数有序对的等价类的动机来自于一个整数可以通过两个自然数（之差）表示。但是我们并没有在自然数上定义减法（当然，我们可以在自然数上定义减法，但是在整数上可以不用定义减法，这更符合笔者的口味），因此我们没办法直接说，例如 $-5=5-10$ 这样的说法。因此，我们选择将减法隐藏在这样一个有序对 $(5, 10)$ 中。

在上面的解释和例子中，我们很容易看到，一个整数对应了不止一个有序对：同样是 $-5$ ，还可以 $(0, 5)$ 这样一种表示。这自然是不能接受的，因为两个整数之间的运算不应当受表示方法的影响，如果一个整数有多种表示，那么我们怎么定义运算，使得运算结果固定指向这一个整数呢？或许有办法做到，但最为简单的方法还是通过等价关系，把这些表示等价起来，归入一个等价类，然后直接说整数就是这个等价类就行了（反正在定义之前我们也不知道整数是什么）。这样，就自然的得到了上面定义的等价关系。

在这样的定义过程中，我们能发现一些特别的代表元。当然，同一个等价类的代表元都是平等的，这里的“特别”是人为意义上的。这些代表元是 $(0, n)$ 和 $(n, 0)$ ，其中 $n$ 是自然数。举个例子，比如说 $(2, 0)$ 好了。我们看到，所有形如 $(2+b, b), \forall b\in\mathbb{N}$ 的二元对都与之等价。从前两段的介绍可以看见，实际上它所在的等价类就是整数2；而另一方面，不严格的说，如果我们选择 $(0, 0)$ 所在的等价类作为一个 $(X, x, f)$ 系统的 $x$ ，我们正好能看见 $(2, 0)$ 就是其第二个后继。换句话说， $(2, 0)$ 对应的等价类就是自然数2。类似的，我们可以看见，对于任何一个整数，我们总能找到（构造）这么一个代表元 $(a, b)$ ， $a$ 和 $b$ 中至少有一个是0。毫不客气的说，我们甚至可以在进行一些必要的修改的前提下，将整数与这样的代表元等价起来。同时，借由此，我们可以回归我们所熟悉的那种记号：对一个整数 $z\in\mathbb{Z}$ ，若存在代表元 $(a, b)$ 使得：

(1)若 $a=b=0$ ，那么记这个整数为0；

(2)若 $b=0$ 而 $a\neq 0$ ，则记这个整数为 $a$ ；

(3)若 $a=0$ 而 $b\neq 0$ ，则记这个整数为 $-b$ 。

于是，我们看到，一切都变得美好起来。同时， $-b$ 正好是 $b$ 的加法逆元： $-b+b=\overline{(b, b)}=\overline{(0, 0)}=0$ 。既然说到加法逆元了，我们就来看看整数集上的代数结构。

四. 整数集上的代数结构

目前为止，我们定义了整数上的加法和乘法，并且证明了加法存在逆元，因此，我们可以进一步证明整数集是环。

这里引入一下环的定义。在集合 $R$ 上有两个二元运算 $+$ 和 $\cdot$ ，如果满足：
(1) $(R, +)$ 是阿贝尔群（对 $+$ 满足交换律）， $(R, \cdot)$ 是半群；
(2)满足分配律： $a(b+c)=ab+ac$ ， $(b+c)a=ba+ca$ ，
那么 $R$ 被称为一个环。

我们可以逐一验证。首先， $(\mathbb{Z}, +)$ 是一个阿贝尔群。这是很显然的，在上面的讨论中我们已经看到了整数上的加法存在逆元，而显然有零元 $0$ ； $(\mathbb{Z}, \cdot)$ 又显然是一个半群——不仅是一个半群，还是一个含幺交换半群。因此，整数集配合加法和乘法是一个含幺交换环。

但是，尽管 $(\mathbb{Z}, \cdot)$ 是一个半群，但并不是 $\mathbb{Z}$ 的任意元素都没有乘法逆元：1和-1是唯二的存在乘法逆元的整数。环上的乘法逆元称单位，因此整数环上的单位群就是 $\{-1, 1\}$ 。

关于整数上的环结构，这里不打算继续太多，这是因为整个环论的深入可以说都有着整数环的影子。事实上，笔者在学习代数基础中的环论时，总能体会到整个环论研究的对象几乎都是整数环的不同程度的抽象。因此，如果要细讲整数环上的结构，那可以说要把整个环论都搬上来了。这样即与主题无太大的益处又显得篇幅极多。因此这里就停留在整数集是一个含幺交换环上。更进一步的，这里不加定义的按抽象程度由高到低地给出结论：整数环是整环（domain）、唯一分解整环（UFD）、主理想整环（PID）和欧式整环（ED）。在欧式整环的层次上，我们可以定义带余除法；在唯一分解整环上，我们有了素数的概念。可以说，在以上内容的基础上整数环上的代数结构已经十分透彻了。

那么现在，我们可以说基本完成了目标：引入加法逆元，将自然数集合升格到整数集，并使之成为加法群。进一步，在乘法的配合下，我们能看到整数群还是一个性质非常好的含幺交换环。那么下一步，我们就要引入乘法的逆元，将整数环变成更美好的事物：有理数域 $\mathbb{Q}$ 。