gravertino的问题集

作者按：随着笔者学习的逐渐深入和兴趣的日益广泛，许多问题也不断产生。有些较为简单的问题随着学习的深入和与老师同学的沟通能很快的解决，而有些问题则不然。在这些问题中，又有着一些或者与日常科研学习生活并没有什么太大关系，或者较为空泛而无实际价值，或者仅仅是经院哲学的、形而上的问题。虽然这么说，但一来笔者仍对其有强烈的好奇心，二则难以找到能共同讨论这些问题的人。随着时间的流逝，这些问题也渐渐被笔者遗忘。为了避免这一点，特开一个新的页面，用以记录这样的问题和相关文章，供读者与笔者一同讨论。当然，需要提前声明的是，正如之前说的那样，这些问题绝大多数没有任何实际意义，功利的说，对包括笔者在内的绝大部分人而言都没有什么用，对他们的探讨也往往是空谈罢了。在这样的前提下，如果能有人一同讨论，那就再好不过了。

哲学家们只是用不同的方式解释世界，而问题在于改变世界。

《关于费尔巴哈的提纲》 马克思

一. 关于欧几里得空间的维度

在阅读《元数学导论》时，看到了这么一个例子，其结论是对任意正整数m和n，R^m和R^n等势，也就是存在二者之间的一一映射。为什么呢？以一维欧式空间和二维欧式空间为例简要说明一下，更详细的证明读者可以去找原书或者直接问笔者。

首先，我们可以建立一个R到(0, 1)的一一映射和R^2到(0, 1)\times(0,1)的一一映射。而一个(0, 1)区间可以和一个0，1无穷数列集建立一一映射，即将(0, 1)内任意一个实数写为二进制无穷小数的形式并略去前面的“0.”。那么，假设在(0, 1)\times(0,1)内有一个元素(x, y)，那么x和y可以分别写为：

(1)   \begin{equation*}x_0x_1x_2x_3...\end{equation*}

(2)   \begin{equation*}y_0y_1y_2y_3...\end{equation*}

二者可以并和为一个数列：

(3)   \begin{equation*}x_0y_0x_1y_1x_2y_2x_3y_3...\end{equation*}

从而对应于唯一一个实数，反之亦然：一个二进小数可以按上述方式拆为两个二进小数，从而对应唯一一个实数对。因此R到R^2之间存在一一映射，二者等势。

那么，问题是，既然所有的欧氏空间具有相同的势，那么是否有先验的方法，当获得一个欧氏空间时不依赖其作为线性空间等的结构就能确定其维度？如果没有的话，是否意味着“维度”这样一个概念事实上只依赖于附加在集合上的结构，而与集合本身没有关系？如果对应到物理上，是否可以认为无论是几维的时空流形，都可以具有同一个集合作为基底？

二. 当我们在讨论相等/等价时，我们在讨论什么

当说到三角函数，比如\sin x时，读者会发现它有两个等价的定义，即通过几何的定义和通过级数的定义。当我们说这两个定义等价时，是说它们对应于同一个数学上的客体。类似的，实数也可以通过多种方法构造，例如戴德金分割和柯西列的方法。我们说这些方法给出的实数集是同构的。特别地，实数的存在定理告诉我们：具备最小上界性的有序域存在；此外，它包含\mathbf{Q}作为其子域。这也暗示了，只要满足这三条，它就是实数域。那么问题是，当给定一个客体，我们应该如何将其抽象并给出其定义，从而使这个客体和定义之间存在一一对应？

三. 为什么需要实数？或问，实数域与有理数域的根本区别是什么？

在学习数系的扩充时，常常会用\sqrt{2}举例子：因为\sqrt{2}无法表示成二整数之商的形式，因此它不是有理数；为了包括这些数，就有了无理数；有理数和无理数两个集合加起来就得到了实数集。或者说，人们似乎常常把有理数域的代数不完备性作为发展实数的原因（当然实数域也是代数不完备的）。但是，如果我们在有理数域的基础上，取有理数域的代数闭包，并将其作为新的数域，那么它显然是代数完备的，它也显然和实数域完全不一样：实数域中还包括超越数，有理数域的代数闭包还包含实部和虚部都为代数数的复数。既然如此，为什么当初会发展出实数呢？

当然，这里的确也提到了：超越数。如果把\pi，e之类的超越数算上，有理数域的代数闭包的确又成为了代数不完备的，但是一方面，历史上出现的或常用的“有名有姓”的超越数屈指可数；另一方面，历史上往往也讨论有理数系数的代数方程，研究这些方程的可解性根本用不到实数域这么“大”的东西，而如果在实数域上讨论代数方程，那超越数显然也是代数元，也没什么意思了。

从集合论的角度，我们也知道，实数集的势大于有理数集的势：后者是可数的而后者甚至是不可数的，前者与后者子集的集等价。但势大于有理数集的势的集那么多，为什么偏偏是实数呢？

最后一个角度，存在定理说：具备最小上界性的有序域R存在，同时它包含有理数域作为其子域。这似乎暗示了实数域，无论怎么构造的，其根本属性是最小上界性和可定义某种序使之成为有序域，但这又如何与其代数性质联系起来呢？

20220326更新：在某种程度上，这个问题被部分的解决了：从公理化的角度讲，凡具有最小上界性的有序域一定是实数域。换句话说，我们首先有了实数域的概念——具有最小上界性的有序域，而后再通过柯西列或者戴德金分割等的方式给出一个实数域的具体构造。那么，这一个问题就进一步变成了，最小上界性具有怎样的特殊含义？

四. 我们该如何确定公理化方法得出来的客体和我们观念上的客体是一致的？

这个问题或许和第二个问题有些类似。这一问题是从第三个问题引发出来的。在第三个问题的20220326更新中，我们看到实数系统是公理化的，并且能够用集合论的方法证明实数系统（作为抽象系统）下给出的模型是互相同构的。那么，一个表层的问题就是，这是如何证明的呢？更深入一点的问法就是，如何证明实数系统的几条公理足以摹画实数的性质？更进一步的提法就是标题中的内容了，亦即，我们应该如何准确描述观念上的客体（用柏拉图的话说，就是理型/eidos/εἶδος）。